logic.md

lógica

lógica proposicional

proposição lógica: oração declarativa que é verdadeira ou falsa

• oração: sentido completo com presença de verbo
• sentença aberta: sentença em que não se pode determinar se é verdadeira ou falsa
• sentença declarativa: NÃO são proposições as sentenças exclamativas, interrogativas, imperativas ou optativas
• é verdadeira ou falsa: NÃO são proposições as sentenças abertas, paradoxos ou as frases com alta carga de subjetividade
• quantificadores: "todo", "para todo", "nenhum", "existe", etc

proposições simples

proposição que não pode ser divida em proposições menores

Note

sentenças abertas não são proposições e.g. x + 9 = 10 de um ponto de vista lógico, não podemos afirmar que esta sentença é verdadeira ou falsa

• proposição simples: não pode ser dividida em proposições menores

Note

frases que exprimem opinião não são proposições

• negação: ~, ¬

~(~p) = p = ¬( ¬p)

proposições compostas

proposição que resulta da combinação de duas ou mais proposições simples que são unidas por conectivos

tipo	conectivos	notação
conjunção	e/mas	p^q
disjunção inclusiva	ou	pvq
disjunção exclusiva	ou ..., ou	p⊻q p⊕q
condicional	se ..., então/como/logo/implica/quando/toda vez que/somente se/porque/pois	p -> q
bicondicional	se e somente se/assim como/se e só se	p <-> q

• nem = ^~

  • pedro não estuda nem trabalha = ~p^~q
    • p: pedro estuda
    • q: pedro trabalha

• condicional: p -> q

  • p é:
    • condição suficiente
    • antecedente
    • precedente
  • q é:
    • condição necessária
    • consequente
    • subsequente

Tip

se p, então q => s e => s uficiente

p <-> q = ~(p ⊕ q)

ordem de precedência de negação

1. aplicar a negação no menor enunciado possível
2. conjunção ^ ou disjunção v, na ordem que aparecer
3. disjunção exclusiva ⊻ ou ⊕
4. condicional ->
5. bicondicional <->

tabelas-verdade

condicional

p	q	p -> q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

disjunção exclusiva/x-or

p	q	p ⊕ q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

tautologia, contradição e contingência

• tautologia: proposição que é sempre verdadeira
  • e.g. p v ~p
• contradição: proposição que é sempre falsa
  • e.g. p ^ ~p
• contingência: é verdadeira ou falsa dependendo dos valores (V ou F) atribuídos às proposições que compões ela

equivalências lógicas

p -> q = ~q -> ~p
p -> q = ~p v q
p v q = ~p -> q
~(p -> q) = p ^ ~q

~(p ^ q) = ~p v ~q
~(p v q) = ~p ^ ~q

(p -> r) ^ (q -> r) = (p v q) -> r

(p -> q) ^ (p -> r) = p -> (q ^ r)

p ^ q = q ^ p
p v q = q v p

p <-> q = (p -> q) ^ (q -> p)
p <-> q = ~(p ⊻ q)
p ⊻ q = (~p) <-> q =  p <-> (~q)

Lógica de Primeira Ordem (LPO)

proposições quantificadas e diagramas lógicos

• sentenças abertas: são expressões que possuem um termo variável

  • não há como atribuir-lhes valor lógico (V ou F)
  • não são proposições
    • proposição lógica: oração declarativa que é verdadeira ou falsa

• sentenças fechadas: são expressões que não contém variáveis livres

  • é verdadeiro ou falso

• quantificador universal (∀) = para todo, para qualquer, qualquer que seja

• quantificador existencial (∃) = existe, algum, pelo menos um

negação de proposições quantificadas

• proposição universal afirmativa
  • exemplo: todo marinheiro é pescador
    • M(x) = "x é marinheiro"
    • P(x) = "x é pescador"
    • ∀x (M(x) -> P(x))
• proposição universal negativa
  • exemplo: todo brasileiro não é mentiroso
    • B(x) = "x é brasileiro"
    • M(x) = "x é mentiroso"
    • ∀x (B(x) -> ~M(x))
• proposição particular afirmativa
  • exemplo: existe um matemático que é engenheiro
    • M(x) = "x é matemático"
    • E(x) = "x é engenheiro"
    • ∃x (M(x) ^ E(x))
• proposição particular negativa
  • exemplo: existe um matemático que não é engenheiro
    • M(x) = "x é matemático"
    • E(x) = "x é engenheiro"
    • ∃x (M(x) ∧ ~E(x))

para negar alguma proposição quantificada:

• proposição universal afirmativa <=> proposição particular negativa
  • ~(∀x P(x)) <=> ∃x ~P(x)
• proposição universal negativa <=> proposição particular afirmativa
  • ∀x ~P(x) <=> ~(∃x P(x))

passo a passo:

1. encontre o quantificador e o predicado
2. troque o quantificador

• universal => particular
• particular => universal

3. troque o predicado pela sua negação
4. negação de proposição concluída

exemplos:

1. Todos os habitantes possuem, pelo menos, uma bicicleta.

• quantificador universal: todos
• predicado: possuem, pelo menos, uma bicicleta.

2. Existe um habitante
3. que não possui bicileta
4. Existe um habitante que não possui bicicleta

• p: todo brasileiro gosta de futebol

• ~p: existe algum brasileiro que não gosta de futebol

• q: qualquer pessoa consegue passar

• ~q: alguma pessoa não consegue passar = existe pessoa que não consegue passar

• predicado: é tudo na oração que se declara sobre o sujeito, seja afirmando ou negando

  • exemplo: todo brasileiro gosta de futebol
    • sujeito = todo brasileiro
    • predicado = gosta de futebol

• proposição universal afirmativa

  • forma A

• proposição universal negativa

  • forma E

• proposição particular afirmativa

  • forma I

• proposição particular negativa

  • forma O

Tip

as letras das formas seguem a ordem das vogais (AEIO) começamos com proposições universais e terminamos com particulares alternamos entre afirmativa e negativa A de Afirmativa E de nEgativa

• proposições contrárias

• proposições subcontrárias

• proposições subalternas

• proposições contraditórias

• função-predicado/função proposicional: sentença que depende do valor de uma variável para ser classificada como verdadeira ou falsa

• universo do discurso: conjunto formado pelos valores que a variável de uma função-predicado pode assumir

• exemplo: x é ímpar

  • variável: x
  • predicado: é ímpar
  • função-predicado: x é ímpar

proposições categóricas

proposição categórica	representação simbólica
todo A é B	∀x( A(x) -> B(x) )
algum A é B	∃x( A(x) ^ B(x) )
nenhum A é B	~∃x( A(x) ^ B(x) )
algum A não é B	∃x( A(x) ^ ~B(x) )

Warning

se o negativo vier antes do quantificador, ele se aplica no quantificador se o negativo vier antes do predicado, ele se aplica no predicado

conectivos lógicos

como resolver questões:

1. identificar as afirmações que estão no "formato fácil"
2. desconsiderar o contexto da questão, transformando as afirmações da língua portuguesa para a linguagem proposicional
3. obter os valores lógicos das proposições simples presentes nas afirmações do enunciado (sempre que possível)
4. verificar a resposta que apresenta uma proposição verdadeira

• as afirmações do enunciado que apresentam um "formato fácil" são as seguintes:
  • proposição simples (verdadeira ou falsa)
  • conjunção (e/∧) verdadeira
  • disjunção inclusiva (ou/∨) falsa
  • condicional (se...então/→) falsa

lógica de argumentação

argumentos dedutivos

• argumento dedutivo: argumento que não produz conhecimento novo

• silogismo: argumento dedutivo composto por duas premissas e uma conclusão

• existem 2 tipos de argumento:

  • argumentos categóricos: argumentos que apresentam proposições categóricas
  • argumentos hipotéticos: argumentos que não apresentam proposições categóricas
    • fazem uso de conectivos

• validade: característica dos argumentos dedutivos, que pode ser válido ou inválido

  • conclusão válida: segue logicamente das premissas, mesmo que as premissas sejam falsas

• veracidade: característica das proposições, que podem ser verdadeiras ou falsas

• argumento dedutivo é valido quando as premissas verdadeiras levam à uma conclusão que é necessariamente verdadeira

• argumento dedutivo é inválido quando premissas consideradas verdadeiras não necessariamente levam à conclusão verdadeira

  • argumento dedutivo inválido = sofisma ou falácia formal

• é possível ter um argumento válido nesses cenários:

  • premissas verdadeiras e conclusão verdadeira
  • premissas falsas e conclusão verdadeira
  • premissas falsas e conclusão falsa

• não é possível ter um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa

• é possível ter um argumento inválido nesses cenários:

  • premissas verdadeiras e conclusão verdadeira
  • premissas verdadeiras e conclusão falsa
  • premissas falsas e conclusão verdadeira
  • premissas falsas e conclusão falsa

• não há uma relação direta entre a validade de um argumento e a veracidade da sua conclusão

regra da transitividade condicional

argumento no formato abaixo, independentemente do número de premissas, é sempre válido

a -> b
b -> c
c -> d
d -> e

é equivalente a

a -> e

regras de inferência

dadas as premissas, podemos deduzir as conclusões abaixo:

• modus ponens (afirmação do antecedente)
  • premissa 1: p -> q
  • premissa 2: p
  • conclusão: q
• modus tollens (negação do consequente)
  • premissa 1: p -> q
  • premissa 2: ~q
  • conclusão: ~p
• silogismo hipotético
  • premissa 1: p -> q
  • premissa 2: q -> r
  • conclusão: p -> r
• dilema construtivo
  • premissa 1: p -> q
  • premissa 2: r -> s
  • premissa 3: p v r
  • conclusão: q v s
• dilema destrutivo
  • premissa 1: p -> q
  • premissa 2: r -> s
  • premissa 3: ~q v ~s
  • conclusão: ~p v ~r